집합 \(\{1,2,\cdots,n\}\)의 부분집합 중 연속한 두 자연수를 동시에 원소로 갖지 않는 부분집합(공집합 포함)의 개수를 \(b_n\)이라 하자.
(1) \(b_1, b_2\)를 구하고, \(b_{n+2}=b_{n+1}+b_n\)이 성립하는 이유를 설명하시오.
(2) \(b_6\)의 값을 구하시오.
(3) 집합 \(\{1,2,3,4,5,6\}\)의 부분집합 중 원소가 \(3\)개이고 연속한 두 자연수를 동시에 원소로 갖지 않는 것의 개수를 구하시오.

원 \(x^2+y^2=1\) 위의 점 \(\mathrm{A}(0, 1)\)과 직선 \(y=-t\,(-1\lt t\lt1)\)가 원과 만나는 두 점 \(\mathrm{B}, \mathrm{C}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S(t)\)라 하자.
(1) \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.
(2) \(S(t)\)가 최대가 되는 \(t\)의 값과 최댓값을 구하시오.

모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_2=6, a_5=48\)을 만족시킨다.
(1) 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
(2) \(b_n=\log_2\dfrac{a_n}{3}\)일 때 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k\)를 구하시오.
(3) \(a_1a_2\cdots a_n\gt3^n\cdot2^{40}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

양수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=x^2-2tx\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S(t)\), 곡선 \(y=x^2-2tx\)와 직선 \(y=x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(T(t)\)라 하자.
(1) \(S(t)\)를 구하시오.
(2) \(T(t)\)를 구하시오.
(3) \(T(t)=8S(t)\)를 만족시키는 \(t\)의 값을 구하시오.